ßÒÓ Ú Û ÂÁ ÈËÓ Ó ÁÙÒ.,,!. Â Â Æ Â Â ± Ï ÏÎÏ ÂÏ Ó ÌÈÈ ÏÚ Ú ÆÍ ÁÓ Â Â Â Â È Â ÈÈ ÂÏ È Ó ÂÈ ÏÚ Ú Ì! ÆÓ Â ÌÈ Ú È ÔÈ Á Ó Æ B ÈÚ ÔÂÂÈÎÏ A ÈÚÓ ˆÈ.  ÚÈÒ ÏÈÁ Ó Ú 4  ÚÎ Ï Ô Î ÈÙÎ ÚÂ Â È Ó ÚÒ ÏÁ ÆÂ Î Ï ÈÈ ˆÓ ÍÒÂÓÏ Ú Ó 5 Ï Â È Ó Ó ÚÒ Â A ÔÂÂÈÎÏ ÈÓ ÊÁ ÆA Ï Í B ÔÂÂÈÎÏ ˆÈ ÏÂÙÈË Á Ï ÈÓÂ Â Í Ó Ï ÏÙÈË ÍÒÂÓ Æ Ï Ú Â ÚÈÒ Â È ÓÓ Ó Ë Â È Ó Æ ÎÂ Ó Ú ÓÂÚÏ Á Ú Ï ÂÁÈ B Ï ÚÈ Â ø Ï Ú Ï ÚÈÒ Â È Ó ÈÈ Ó ÌÈÈ Ó ÈÚ Ë n ÏÎÏ ÈÎ Á Í ÏΠ Ȉ Â È ÁÎÂ Æ Æ n+ 4 n ( 6n- ) $ 4 + 8 $ 4+ 5$ 4 + 8$ 4 + $ 4 +... + ( 6n- ) $ 4 = ÌÂÎÒ ÛÈÚÒ ÍÓÒ ÏÚ ÁÏ Ù ˆÈÎ Æ Æ  Á $ 4+ 5$ 6+ 8$ 64+... + 6$ 6, 44 Ø ÂÓÚ Í Ó Ø
תשובה לשאלה. רעיון הפתרון היא להכניס נעלם v למהירות ההתחלתית בקמ"ש (v הוא הסימון המקובל למהירות כי v היא האות הראשונה של המילה velocity שהיא המילה האנגלית למהירות), לכתוב את פרקי הזמן ואת פרק הזמן הראשון המרחק מנקודת היציאה בכל שלב של הנסיעה כביטויים עם הנעלם v, ולקבל משוואה. המרחק מ- A ל- B הוא ק"מ, ולכן זמן הנסיעה המתוכנן הוא שעות. v 4 בנסיעה, עד שקרתה התקלה, ארך שעה ובמהלכו התקדמה המכונית ק"מ. בפרק הזמן השני 4 v 5 נסוגה המכונית ק"מ, ומכיוון שהיא נסעה במהירות של 5 קמ"ש זמן הנסיעה היה שעות, כלומר.. שעות. פרק הזמן השלישי ארך דקות, כלומר שעות, ובו לא השתנה מקום המכונית 6 =.55 בפרק הזמן הרביעי התקדמה המכונית במהירות של -v קמ"ש והגיעה ל- B. בתום פרק הזמן הראשון הייתה המכונית במרחק ק"מ מנקודת היציאה, ולכן בתום פרק הזמן השני היא הייתה 4 v במרחק של - ק"מ ממקום היציאה. בפרק הזמן הרביעי היא עברה את יתרת הדרך מ- A ל- B 4 v v ק"מ,.ומכיוון שמהירותה אז הייתה -v קמ"ש זמן הנסיעה כלומר v = 4 4 v 4 5 v בפרק זמן זה היה = שעות. משך הזמן של ארבעת פרקי הזמן יחד הוא לכן v 4v 4 5 v 5 v 6v 6 5 v v + 46 = + = + = +.55.75 +. + שעות. 4v 4 4v 4 4v 4 4v 4 4v 4 v + 46 מכיוון שהוא שעה אחת יותר מן הזמן המתוכנן מתקבל השוויון + =. הכפלת שני אגפי 4v 4 v השיוויון ב- 4) v(4v נותנת. v + 46v = 48v 48 + 4v 4v החלפת האגפים, והעברה. v v הפתרון שלה הוא, לפי נוסחת פתרון מצד לצד נותנים את המשוואה הריבועית = 48 המשוואה הריבועית, v= ( ± 4+ 448 ) = (± 96) = (± 4) = ± 7 (מי ששכח את נוסחת פתרון המשוואה ריבועית יכול להשלים לריבוע ולקבל v ולכן = ± 7, ( v ) ולכן = 49, ( v ) 49 = v v + 49 =.( v= ± ולכן 7 מכיוו ש- v חייב להיות מספר חיובי הפתרון הוא 8=v, כלומר מהירות המכונית עד התקלה היתה 8 קמ"ש.
שאלה. חלק א. נוכיח את החלק הזה בשתי דרכים: דרך ראשונה: באינדוקציה. ל- n= אגף שמאל הוא = 88 4 5 4 + ואגף ימין הוא + (6 )4 + 8 4 4 + 8 64 = = = 88 ולכן השיוויון נכון ל- =n. כעת נניח כי השיוויון נכון ל- n ונוכיח אותו ל- +n. זה אומר שעלינו להוכיח את השוויון ( n+ ) + n n+ n+ (6( n + ) ) 4 + 8 4 + 5 4 +... + (6n ) 4 + (6n + ) 4 + (6n + 5) 4 =. לפי הנחת האינדוקציה סכום n המחוברים הראשונים באגף שמאל של שיוויון זה הוא n+ (6n )4 + 8 ולכן שוויון זה שקול לשיוויון n+ ( n+ ) + (6n )4 + 8 n+ n+ (6( n + ) )4 + 8 + (6n + )4 + (6n + 5)4 = (*) נכפול את שני האגפים של (*) ב-, נחסיר 8, נחלק ב- +n 4 ונפשט מעט ונקבל 6n + (6n + ) + (6n + 5) 4 = (6( n + ) ) 4 (**) מכיוון שצעדי המעבר מ-(*) ל-(**) הם הפיכים, די להוכיח את (**). חישוב ישיר של כל אחד מאגפי +96n ולכן הם שווים. בכך הסתיימה הוכחת צעד האינדוקציה, והוכח השיוויון. (**) נותן 64 דרך שניה: הצגת אגף שמאל כסכום של סכומים של n סדרות גיאומטריות. נפרק את הסכום שבאגף שמאל של השיוויון לסכומים הבאים 4 4 + 4 + 4 + 4 +... + 4 n 4 + 4 + 4 + 4 +... + 4 n 4 + 4 + 4 +... + 4 n... + 4 n לפי נוסחת הסכום של סדרה גיאומטרית סכומי השורות הם, משמאל לימין, n+ n+ n+ n+ n 4 4 4 4 4 4 4 4,,,, 4 4 4 4 4 n+ 4 נוסיף למחובר השמאלי ונחסיר את זה מן הסכום ונקבל, ע"י צמצום ב- וסידור שונה 4 n n n n 4) (4 ) 4 +... + 4 (4 + 4 + ) + 4 +... + + (4, וזה שווה, לפי נוסחת הסכום של n+ n+ 4 4 n+ n פישוט של סכום זה נותן את אגף ימין של סדרה גיאומטרית, ל- 4) (4 4 השיוויון הנדרש.
חלק ב. כדי לדעת מיהם המחוברים בסכום זה יש למצוא היכן המחובר האחרון משתלב בסדרה. המקדמים בסדרה הם מספרים מן הסוג n. המקדם של האיבר האחרון בסדרה הוא 6, כלומר 9 8 9 ולכן האיבר האחרון אמור להיות 4 6.חישוב פשוט נותן = 6,44 4, ולכן 6,44 6 הוא האיבר התשיעי בסדרה. לפי השיוויון של חלק א, עם 4=n, סכום שמונת המחוברים הראשונים בסכום זה הוא 4+ (64 )4 + 8 ולכן הסכום כולו הוא 4+ 9 9 9 (6 4 )4 + 8 9 4 + 8 9 ( + 6) 4 + 8 4 + 8 6,44 + 8 + 6 4 = + 6 4 = = = 6,4, 48 = = 8, 78,6
ßÒÓ Ú Û ÂÁ ÈËÓ Ó ÁÙÒ ÆÌÈ Á ÌÈÏ Ï 4 ÏÚ ÚÒÂ È ÂÎÓ ÏÂÈËÏ ˆÈ ÁÙ Ó. Æ Á È Ê Ï Ï È È ÂÎÓ Ï ÔÚËÓ Æ.5 È ÏÂÈË ÔÓÊ Á Ï Ï ßˆ Ù È È Â Ò Æ.5 È ÏÂÈË ÔÓÊ È Ê Ï Ï È È Â Ò øìè Á ÌÈÏ Ï Ú ÔÈ Ó Á Ï Ï ÂÈ È È Â Ò È Ó Æ ÆÈ Ê Ï Ï Ï Ï ÙÈÏÁ ÁÙ Ó Â Á Ï Ï È ÏÂÈË ÏÈÁ Æ ÔÈ Ó È Ê Ï Ï È È ÙÏÁ È Á Â Ò È Ó ± øìèï Ï Ú ÔÈ Ó Á Ï Ï È È ÙÏÁ È Á Â Ò È Ó øìèï Ï Ú ÆÌÈÏ Ï Ú ÔÈ Ó Á Ï Ï È ÙÏÁ È Á ÈÎ ÚÂ È øè Ê Ï Ï È Â Ò È Ó È ÂÓ Â Ò Â ÁÒ P( A+ B) P( AB / ) = P( B) È ÂÓ Â Ò Â È ÂÓ Èˆ ÂÙ ٠P( BA / ) $ P( A) P( AB / ) = P( B) ÒÈÈ ÁÒ - P( AB / )! P( AB / ) ÂÏ È P( AB / )! P( A) Ø ÂÓÚ Í Ó Ø
4.5 (.5).75.. (.5).().5*(.5).4.(),,...5 (.5),.5 (.5) (.5).5 (.5).59.(),.5 (.5).4.6786.5 (.5) (.5).5 (.5).59
ßÒÓ Ú Û ÂÁ ÈËÓ Ó ÁÙÒ Â Â Æ Â Â ± Ï ÏÎÏ 6-4 ÂÏ Ó ÌÈÈ ÏÚ Ú ÆÍ ÁÓ Â Â Â Â È Â ÈÈ ÂÏ È Ó ÂÈ ÏÚ Ú Ì! A D AF Í ÂÁ Ï ÚÓÏ ÌÈ ˆÂÈ A Â Ó Æ4 Æ N Â Ï ÚÓÏ È Ó ÈÂ Æ E  D Â Â Ï ÚÓ ÌÚ Ù Í ÂÁ E M Â Ï ÚÓÏ È Ó È ˆÂÈ F Â Ó N B M F B  AN È Ó Í Ó ÌÚ Ù Â Æ ÂȈ Æ AD= DE= EF Ô ÁÎÂ Æ AN= MF Æ Æ ADN, FEM Æ ÆÂÊÏ ÂÊ ÂÏÈ Ó ÂÚψ È È MNDE Ú Â Ó Æ Ø ÂÓÚ Í Ó Ø
שאלה 4. א. נסמן ב- O את מרכז המעגל, ויהי OG הגובה המורד מן המרכז O אל המיתר.DE לפי משפט, האנך ממרכז מעגל למיתר חוצה את המיתר (כי הוא גובה במשולש שווה השוקיים.(ODE כעת רואים, אינטואיטיבית, כי כל הסירטוט סימטרי ביחס לישר,OG ובהוכחה עלינו לממש את הסימטריה הזאת. כדי לדעת רק כי AN=FM אפשר להשתמש במשפט האומר שאם FM משיק למעגל ב- M וישר דרך F חותך את המעגל בנקודות E ו- D אז. FM = FE FD לפי אותו משפט, מכיוון שגם AN משיק למעגל, קיים, AN = AD AE ולכן, מכיוון שנתון כי,AD=EF.AN=FM ולכן AN = AD AE = AD ( AD + DE) = FE ( FE + ED) = FE FD = FM אבל אנו זקוקים גם למידע נוסף לצורך החלקים הנוספים של השאלה, ולכן נלך בדרך הבאה. מכיוון ש- G היא אמצע,DE ולפי הנתון ש- AD=EF קיים.AG=AD+DG=FE+EG=FG כך.OA=OF הוא משולש שווה שוקיים וקיים OAF ולכן OAF הוא גם תיכון וגם גובה במשולש OG כך A ו- F נמצאות במרחק שווה ממרכז המעגל O, ולכן המשיקים למעגל AN ו- FM היוצאים מהן שווים, כנדרש בחלק זה. בשלב האחרון השתמשנו במשפט שעבור נקודה A מחוץ למעגל מרחק A ממרכז המעגל O קובע את אורך המשיק AN מ- A למעגל. הדבר נובע מכך שהמשולש ONA הוא ישר זווית ב- N, כי המשיק NA ניצב לרדיוס,NO ולפי משפט פיתגורס, AO = ON + AN = r + AN היכן ש- r הוא רדיוס המעגל. DAO= GAO= GFO= ב. כתוצאה משתי החפיפות שהוכחו בחלק א' מתקבל EFO. DAN= DAO+ OAN= EFO+ OFM= EFM ולכן, OAN= וגם OFM לכן למשולשים AND ו- FEM ישנן זוויות שוות ב- A וב- F, הצלעות שלהם AD ו- EF שוות לפי הנתון והצלעות שלהם AN ו- FM שוות לפי חלק א'. לכן לפי משפט החפיפה צלע-זווית-צלע משולשים אלו חופפים. ג.דרך אחת: מכיוון ש- BN ו- BM הם המשיקים למעגל מן הנקודה B הם שווים ומכיוון שלפי חלק א' קיים MF=NA לכן,BN:NA=BM:MF ולפי המשפט הפוך למשפט תאלס במשולש BAF הישר.AF מקביל לצלע NM דרך שניה: נמשיך את הקטע GO כך שהוא יחתוך את הישר NM בנקודה H. לפי שתי החפיפות של AON= ולכן FOM ו- GOA= חלק א' קיים GOF 8 o o. HON = GOA AON = 8 GOF FOM = HOM לכן OH הוא חוצה הזווית ONM, והוא חוצה הזווית הקודקודית במשולש שווה השוקיים,OMN ולכן הוא גם גובה במשולש זה והוא מאונך לבסיס.MN כך הישר GOH מאונך לכל אחד משני הישרים DE ו- MN, ולכן ישרים אלו מקבילים.
ßÒÓ Ú Û ÂÁ ÈËÓ Ó ÁÙÒ B P F K O A D Æ ABC ÏÂ Ó ÌÂÒÁ Ï ÚÓ ÊÎ Ó È O Â.5 C D  BC ÚÏˆÏ È Ó Ï ÚÓ Æ F  AB ÚψÏ P Ú OF  K Ú OD ÂÎÈ Ó Æ OF = FP  OD = DK ÍÎ Æ FD= BO ÈÎ ÁÎÂ Æ Æ BO= PK ÈÎ ÁÎÂ Æ r  ÌÂÒÁ Ï ÚÓ ÒÂÈ ÔÓÒ Æ Æ BABC= β BBAC= α Æ BOC ÏÂ Ó ÁË r  β α ÂÚˆÓ Ú F A B D O C Æ O ÂÊÎ Ó Ï ÚÓ ÌÂÒÁ ABC ÂÈÂÂÊ Á Ï Ó.6 ÒÂÈ Í Ó Â Ï ÚÓ Ë  CF D  AC Úψ Í ÂÁ BO Æ ÂȈ  ÓÎ BABD= α Ô FB $ Ó È٠ΠBC % Æ BAC ÈÂÂÊ Ï Â Á Æ Æ BAC ÏÂ Ó ÁË Ï BAD ÏÂ Ó ÁË ÔÈ ÒÁÈ α ÂÚˆÓ Ú Æ AD Æ AB = ÈÎ Ì ÔÂ Æ Æ α ˆÓ Ø ÂÓÚ Í Ó Ø
שאלה 5. א. OF ו- OD הם רדיוסים של המעגל החסום ולכן הם שווים. מכיוון שהמעגל משיק ל- AB הרדיוס OF ניצב ל- AB, ומכיוון שהמעגל משיק ל- BC הרדיוס OD ניצב ל- BC. לכן המשולשים BDO ו- BFO הם משולשים ישרי זווית, עם זוויות ישרות ב- D וב- F. יש להם יתר משותף BO וניצבים שווים OD ו- OF, ולכן הם חופפים, ולכן.BF=BD כך המרובע ODBF הוא דלתון. BO ו- FD הם האלכסונים של דלתון זה והם ניצבים זה לזה לפי המשפט שאלכסוני דלתון ניצבים זה לזה. ב. מכיוון ש- D,OD=DK היא אמצע הקטע.OK מכיוון ש- F,OF=FP היא אמצע הקטע.OP לכן FD מכיוון שהקטע.PK ולפי משפט הוא מקביל לצלע השלישית OKP הוא קטע אמצעים במשולש FD ניצב על BO גם הקטע,PK המקביל לו, ניצב על.OB ג. מרכז המעגל החסום במשולש נמצא, לפי משפט, על חוצי זוויות המשולש.לכן הזווית OBD היא OBD במשולש ישר הזווית.לכן OBD= מחצית הזווית ABC שגודלה β ולכן β r OD r. BD= ולכן = = tanβ tanβ BD BD o o o ACB = 8 ABC BAC = 8 β α = (9 α β) לכן במשולש ישר הזווית ODC קיים, כמו קודם, r. DC = r tan( α β) tan(9 α β) = + r BC= BD+ BC= + r tan( α+ לכן (β tan β מכיוון שהגובה של המשולש OBC הוא r ובסיסו הוא BC לכן שטחו הוא.. r + tan( α + β) tan β
שאלה 6. א. מכיוון שהקשת BC ארוכה פי מן הקשת,FB והגדלים של הזוויות המרכזיות המתאימות לקשתות אלו 8 o ומכיוון שסכום שתי זוויות אלו הוא, COB= פרופורציוניים לאורך הקשתות לכן BOF מתקיים COB = o ו- BOF= 6 o. הזווית CAB היא זווית היקפית הנשענת על אתה קשת 6. o ולכן, לפי משפט, גודלה הוא מחצית מגודל הזוית המרכזית, כלומר, COB כמו הזווית המרכזית CB ב.תחילה נמשיך בחישוב הזוויות. שתי צלעות של המשולש AOB הן רדיוסים, ולכן משולש זה הוא שווה o שוקיים. זווית הבסיס שלו ב- A היא α ולכן זווית הקודקוד שלו ב- O היא. 8 α הזווית ACB הא o זווית היקפית הנשענת על הקשת AB שהזווית המרכזית שלה היא AOB שגודלה. 8 α לכן, לפי משפט, גודל הזווית ACB הוא מחצית מגודל AOB, ולכן הוא 9 o α הבסיסים AD ו- AC של המשולשים ABD ו- ABC נמצאים על אותו ישר ולכן הגובה המשותף שלהם הוא האנך המורד מן הנקודה B לישר זה. לכן יחס השטחי של המשולשים שווה ליחס הבסיסים AD ו- AC. את הבסיסים הלו נחשב לפי משפט הסינוסים. במשולש ABD AB sin DBA sinα sinα sinα AD = = AB = AB = AB o o o o sin ADB sin(8 6 α ) sin( α ) sin( α + 6 ).כי הזווית ADE היא הזווית השלישית במשולש שיתר זוויותיו הן 6 o ו- α, ןמכיוון ש- o o o o. sin( α ) = sin(8 ( α )) = sin( α + 6 ) o o o o sin ABC sin(8 6 (9 α )) sin( α + ) AC = AB = AB = AB o sin ACB sin(9 α ) cosα ולכן יחס השטחים הוא o o AD sin( α+ ) sin( α+ 6 ) sinα cosα = = o o AC cosα sinα sin( α+ )sin( α+ 6 ) אפשר להסתפק בביטוי זה, ןאפשר גם להמשיך ולפשט אותו בעזרת נוסחת הסינוס של סכום זוויות כך. o o o o o o sin( α + )sin( α + 6 ) = (sin cosα + cos sin α )(sin 6 cosα + cos 6 sin α ) = cosα + sinα cos sin α + α ו = ( cosα + sinα ) + + sinα cosα = + sinα cosα 4 4 4 4 ולכן יחס השטחים הוא sin α + sinα cosα 4 4. = = + sin α sinα cosα + sin α + sin α + 4 4 4 ג. לפי משפט הסינוסים במשולש ADB קיים AD sin ABD sin sin sin o o o o AB = α α α. sin ADB = sin( α ) = sin(8 ( α )) = sin( α + 6 )
אם יחס זה הוא אז o o o sinα sin( α 6 ) (cos 6 sinα sin 6 cos α ) = + = + = sinα + cosα = sinα + cosα sinα tanα= = cosα cosα ע"י חיסור sinα משני האגפים וחילוק ב- חישוב במחשבון נותן =α 4.89 o מתקבל
ßÒÓ Ú Û ÂÁ ÈËÓ Ó ÁÙÒ,, Â Â Æ Â Â ± Ï ÏÎÏ 9-7 ÂÏ Ó ÌÈÈ ÏÚ Ú ÆÍ ÁÓ Â Â Â Â È Â ÈÈ ÂÏ È Ó ÂÈ ÏÚ Ú Ì! Æ f( x) = x-a x - Ȉ ÂÙ Â.7 + a Æ a ËÓ Ù Â a Í Âˆ ÈÓ a ÂÚˆÓ Ú ˆÓ Æ Æ Èˆ ÂÙ Ï ÌÂÁ ± Æ Èˆ ÂÙ Ï È È ÈÈÏÚ ÈÓÂÁ Æ Ó Æ Èˆ ÂÙ Ï Ï ÈÙ Â Â Ï x È ÂÚÈ Æ Ï Î È Ì ÌÈ Èˆ ÌÚ Èˆ ÂÙ Û Ï Í ÈÁ Â Â Æ Ï Î È Ì ÌÈ ÈˆÏ ÂÎ Â Ó Èˆ ÂÙ Ï ÂËÂËÙÓÈÒ Æ f( x ) Ȉ ÂÙ Û Ï ˆÈ Ò ËË Ò Æ a Â Ú f( x ) Ȉ ÂÙ Û ÌÈÈÂ È Ò Æ a Â Ú Èˆ ÂÙ Û ÓÂÚÏ Æ Èˆ ÂÙ Ï ÌÂÁ ± Æ Èˆ ÂÙ Ï Ï ÈÙ Â Â Ø ÂÓÚ Í Ó Ø
.7. x a>.()..() x a ( x a) 4a 4a 4a f ( x) x a x a x a x a (,]. [, ) 8ax f '( x) ( x a),.. 4 ( x a) f '( x).() f '( x). x- 8 a( x a) 8ax ( x a) x 8 a( x a)(( x a) 4 x ) 8( x a)( x a)., x a a -, ( a, a) f "( x), x a a -,. a- a - a - a. a - 4a f ( x)..(4) x a x a f ( x). x- x a y-.,- 4a- 4 y - f ().x- 4.,. x-. (5) x x - f(x).
. f(x) -. -x f ( x) - x a a<.().. x, 4 x ( x a).(). x, x a,, 8( x a)( x a).. x a<, x a x a
ßÒÓ Ú Û ÂÁ ÈËÓ Ó ÁÙÒ y f( x) = -x- 4 ÂȈ ÂÙ Â Â.8 g( x) = - x- 4 x Æ ÂȈ Ï ÌÂÁ ˆÓ Æ Æ Â Â ÂȈ ÂÙ Ó Á ÏÎ Æ x= x o  f(x) Ȉ ÂÙ Û Ï È Ó Û Â Ó È Ó È ÂȈ ÂÙÏ È Ó Û Â Ó È Ó Â Ï ÌÈ ÂÚÈ x o ÂÚˆÓ Ú ± Æ Æ g(x) Ȉ ÂÙ Û Ï Æ ÌÈÈ ÙÒÓ ÌÈÎ Ú ± ÛÈÚÒ Ú Â Ï ÌÈ ÂÚÈ ˆÓ g(x) Ȉ ÂÙ Ï Û È È ÏÚ Û Â Ó È Ó È È ÏÚ Ï ÂÓ ÁË Æ Æ x Ȉ È Ò Â ÒÓ x Ȉ È È ÏÚÂ Æ ˆÂ  ÈÒ ÛÂ Ï ÁÙ ˆÓ Æ π π - # x# ÌÂÁ f( x) = tan x Ȉ ÂÙ Â.9 Ô ÌÂÁ Æ Æ ÂÓ È f(x) Ȉ ÂÙ Ì Â Ú x ÈÎ Ú ˆÓ ± Æ Ï Î È Ì ÌÈ ÈˆÏ ÂÏÈ Ó f(x) Ȉ ÂÙ Ï ÂËÂËÙÓÈÒ ˆÓ ÆÔ ÂÒ Ú Â f(x) Ȉ ÂÙ Ï ÔÂˆÈ Â Â Ï ÌÈ ÂÚÈ ˆÓ Æ f(x) Ȉ ÂÙ Û Ï ˆÈ Ò ËË Ò Æ g( x) = tanx- x Ȉ ÂÙ Ï Ê ÈȈ ÂÙ ˆÓ ± Æ y= È È È ÏÚ Ï ÂÓ ÁË ˆÓ # x# π ÌÂÁ π Æ x Ȉ È È ÏÚ f(x) Ȉ ÂÙ Ï Û È È ÏÚ x= È È È ÏÚ Æ g(x) Ï Ê ÈȈ ÂÙ ÊÚÈ! Ï È È ÓÏ ÂÓ ÌÈ ˆÂÈ ÂÎÊ Í ÈÁ Ó Â Ï ÌÒ ÙÏ Â È Ú Ï ÔÈ
תשובה לשאלה 8. א. המספר תחת סימן השורש צריך להיות אי-שלילי ולכן תחום ההגדרה של f(x) הוא קבוצת המספרים x, כלומר 4 x, ותחום ההגדרה של g(x) הוא קבוצת המספרים המקיימים x המקיימים 4. כלומר x 4, x 4 x (x, f )' ולכן שיפוע המשיק לגרף f(x) בנקודה ב( ). חישוב הנגזרת של f(x) נותן = x 4 הוא. הנגזרת של g(x) היא שיפוע זה שווה לשיפוע הגרף f(x) בנקודה x 4 x 4, x = x כפי שנתקבל כאשר כופלים את =.וזה מתקיים כאשר x 4 x 4 כאשר שני האגפים ב, עוברים להופכיים, מעלים בריבוע ומוסיפים 4. את שעורי נקודת ההשקה לגרף g(x) אפשר לחשב בשני אופנים. האחד הוא כך. מכיוון ששעור ה- x של g( x ) = x והנקודה x והנקודה נמצאת על גרף g(x) שעור ה- y שלה הוא 4 הנקודה הוא ( x, 4 x ) x היא האופן השני לחישוב שעורי נקודת ההשקה לגרף g(x) הוא כך: לפי נוסחת משוואת הישר המשיק, ולכן שעור ה- y, y = x 4 + ( x x x היא ) משוואת המשיק לגרף f(x) ב- x 4 x) x 4 + ( x ונקודת ההשקה היא x הוא של המשיק ל-( g(x בנקודה x 4 x x, x 4 + x 4 x בה x ישיק לגרף g(x) הוא צריך לפגוש את גרף g(x) בנקודה ב( ). כדי שהמשיק לגרף( f(x ב- שיפוע הגרף של g(x) שווה לשיפוע המשיק, כלומר, שיעורי ה- y של נקודת ההשקה שחושבו בשני x x 4 = x. כפל האופנים לעיל צריכים להיות שווים, וזה אומר ש- + 4 x 4. x הצבת -8 = 8 x,ולכן x 4) = ( x 4) + x (, כלומר 4 = 4 + נותנת -, ולכן שעורי נקודת ההשקה לגרף g(x) הם (-,8)..נותן x 4 x ב- 4 x ל- ב- y = x 4 + ( x x נותנת x במשוואת המשיק ) ב( ). הצבת 8 = x 4 y = x וזאת משוואת ישר העובר דרך הראשית. מכיוון שבחצי המישור הימני המשיק נמצא מתחת 4 לציר ה- x ומתחת לגרף g(x) לכן נפח גוף הסיבוב הוא נפח גוף הסיבוב הנוצר ע"י המשיק עד נקודת ההשקה, פחות נפח גוף הסיבוב הנוצר ע"י גרף g(x) עד נקודת ההשקה. נפח גוף הסיבוב הנוצר ע"י
8 8 x π.לחלופין, אפשר המשיק הוא x dx = π x dx π π π 4 = = = 6 6 לשים לב שגוף סיבוב זה הוא חרוט ישר שרדיוס בסיסו הוא וגובהו 8 ולכן, לפי נוסחת נפח חרוט נפחו π. נפח גוף הסיבוב הנוצר ע"י g(x) הוא הוא = π 8 ( ) 8 8 8 4 ( 4) = = 4 = (( ) (8 + 6)) = 8. π x dx π x dx π הפרש x x π π 4 4 4. 8 שני נפחים אלו הוא π 8
π שבהן tan(x) אינה מוגדרת.. π, π, π, π והן נמצאות בנקודות אי ההגדרה. תשובה לשאלה 9. א( ). tan(x) מוגדרת לכל המספרים הממשיים, פרט לכפולות איזוגיות של π π עבורן הפונקציה אינה מוגדרת הם לכן ערכי x בקטע, א( ). מכיוון שמדובר בתחום סופי תתכנה רק אסימפטוטות אנכיות, π π π π. x =,,, tan x בהן x = π,, π ולכן הנגזרת מתאפסת בדיוק בנקודות f '( x) א( ). קיים x = 4 tan cos x מתאפסת. מכיוון ש- f ( (x = tan x והפונקציה היא אי-שלילית, הנקודות בהן היא מתאפסת הן נקודות מינימום. א( 4 ).. לשם כך נשווה f ( x) cos x sin x. (tan )' tan cos x cos x cos x =y עם הגרף של x x = = = = x ב( ). ב( ) תחילה נמצא את נקודת החיתוך של הישר o π x=, tan ולכן = x=, tan ולכן, בתחום הנתון = x=.לכן עלינו לחשב את השטח 6 π π בין גרף f(x) לבין ציר ה- x מx= עד =x ואת השטח בין הישר =y לבין ציר ה- x מ- =x עד 6 6 π 6 π π tan [ (tan )] 6 xdx = x x = ( π ) = 6. π =x. השטח הראשון הוא
π. 9 π π. = π 6 9 השטח השני הוא השטח כולו הוא סכום שני שטחים אלו שהוא